Jak uła­twić sobie obli­cze­nia mate­ma­tycz­no-fizycz­ne? Część 2.

Dzi­siaj część dru­ga pozna­wa­nia pro­gra­mu SMath Studio.
Jest to dar­mo­wy pro­gram kom­pu­te­ro­wy (fre­ewa­re), któ­ry pomo­że nam prze­pro­wa­dzić obli­cze­nia mate­ma­tycz­ne a tak­że nary­so­wać wykresy.

Korzy­sta­jąc z funk­cji pro­gra­my poli­czy­my sobie natę­że­nie pola gra­wi­ta­cyj­ne­go wokół Zie­mi, oraz spraw­dzi­my jak zacho­wu­je się gra­wi­ta­cja pomię­dzy Zie­mią a Księ­ży­cem. Zachę­cam do lek­tu­ry i samo­dziel­nej pracy.

War­tość siły gra­wi­ta­cji może­my obli­czyć ze wzoru:

 

F – war­tość siły grawitacji
G — sta­ła grawitacji
M – masa Ziemi
m – masa cia­ła na któ­re dzia­ła grawitacja

Dla nas wygod­niej będzie się jed­nak posłu­gi­wać natę­że­niem pola grawitacyjnego.

 

 

 

Zobacz­my jak wyglą­da war­tość natę­że­nia pola gra­wi­ta­cyj­ne­go wokół Ziemi.

Na począ­tek otwórz­my pro­gram SMath i zade­kla­ruj­my potrzeb­ne nam war­to­ści: masę oraz pro­mień Ziemi.

 

 

Następ­nie pro­po­nu­ję opi­sać nasze dane. Kli­ka­my pra­wym kla­wi­szem myszy i wybieramy
„Pokaż opis”. Uzu­peł­nia­my pole któ­re się pojawiło.

 

 

Następ­nie korzy­sta­jąc z wcze­śniej poda­ne­go wzo­ru utwórz­my funk­cję γ®

 

 

Sprawdź­my jaką war­tość przyj­mu­je natę­że­nie pola gra­wi­ta­cyj­ne­go na powierzch­ni Ziemi.

 

 

Wstaw­my wykres, z menu „wstaw” wybie­ra­my wykres→2D

 

 

Roz­cią­ga­my wykres wci­ska­jąc lewy przy­cisk mysz na krop­ce w pra­wym dol­nym rogu

 

 

W lewym dol­nym rogu wpi­su­je­my naszą funk­cję ( UWAGA! Jako argu­ment poda­je­my x).

 

 

Kil­ka słów o nawigacji:
• wci­ska­jąc lewy przy­cisk myszy na wykre­sie może­my prze­su­wać obszar widzia­ny w oknie
• korzy­sta­jąc z rol­ki ska­lu­je­my wykres w obu osiach jednakowo
• wci­ska­jąc kla­wisz „SHIFT” i prze­wi­ja­jąc rol­kę mysz­ki ska­lu­je­my oś „x”
• wci­ska­jąc kla­wisz „Ctrl” i prze­wi­ja­jąc rol­kę mysz­ki ska­lu­je­my oś „y”

Nie­ste­ty w tym momen­cie na wykre­sie nie widać wykre­su naszej funk­cji. Nasza oś x obej­mu­je war­to­ści od zera do kil­ku­dzie­się­ciu a prze­cież sam pro­mień Zie­mi to ponad 6000 kilometrów.
Dodat­ko­wo nale­ży pamię­tać, że wykres two­rzo­ny jest w jed­nost­kach pod­sta­wo­wych, więc oś x jest wyra­żo­na w metrach. Aby temu zara­dzić pro­po­nu­ję zamie­nić γ(x) na γ(x * 1000 m).
Uzy­ska­my w ten spo­sób oś x wyra­żo­ną w kilo­me­trach, co uła­twi odbiór wykre­su. Doda­nie jed­nost­ki jest waż­ne, gdyż w nie­któ­rych przy­pad­kach jej brak może spo­wo­do­wać pro­ble­my z otrzy­ma­niem wyniku.

 

 

Wzór na natę­że­nie pola gra­wi­ta­cyj­ne­go nie jest praw­dzi­wy wewnątrz cia­ła. War­to więc ozna­czyć na wykre­sie pro­mień Zie­mi. Aby to zro­bić musi­my dodać pio­no­wą linie. Moż­na to zro­bić doda­jąc macierz któ­rej ele­men­ty są współ­rzęd­ny­mi począt­ku i koń­ca linii.

 

 

Jako pierw­szą współ­rzęd­na począt­ku linii wpi­su­je­my pro­mień Zie­mi (pamię­ta­my, że pro­gram ope­ru­je na metrach a wykres mamy w km, więc dzie­li­my przez 1000), jako dru­gą poda­je­my wyso­kość linii (200). Ana­lo­gicz­nie postę­pu­je­my z koń­cem linii. Ponie­waż linia ma być pio­no­wa pierw­sza współ­rzęd­na się nie zmie­nia, dru­ga to zero.

Aby na wykre­sie umie­ścić wię­cej niż jed­ną funk­cję, nale­ży naj­pierw wybrać przy­cisk „układ rów­nań”. Pozwo­li nam to dodać oprócz wykre­su funk­cji, linię nary­so­wa­ną na pod­sta­wie punk­tów z macierzy.

 

 

Moż­na tak­że ogra­ni­czyć wykres poda­jąc po zna­ku może­nia w nawia­sie waru­nek logicz­ny (x>6371).

 

 

W taki oto spo­sób otrzy­ma­li­śmy wykres natę­że­nie pola gra­wi­ta­cyj­ne­go na przy­kła­dzie Ziemi.

Zasta­nów­my się jak wyglą­dał­by taki wykres dla dwóch ciał np. Zie­mi i Księ­ży­ca. (pomi­ja­my wszyst­kie inne siły oraz wpływ pozo­sta­łych ciał Ukła­du Słonecznego).

 

 

Podob­nie jak wcze­śniej defi­niu­je­my potrzeb­ne dane.

 

 

War­tość natę­że­nia pola gra­wi­ta­cyj­ne­go dla cia­ła znaj­du­ją­ce­go się pomię­dzy Zie­mią a Księ­ży­cem opi­su­je wzór:

 

Mz – masa Ziemi
Mk – masa Księżyca
OdlZK – odle­głość Ziemia-Księżyc

 

Wsta­wia­jąc odpo­wied­nie odle­gło­ści (oś x zaczy­na się w środ­ku Zie­mi) obli­cza­my wartość
natę­że­nia pola gra­wi­ta­cyj­ne­go na Zie­mi i na Księ­ży­cu. Wynik uzy­ska­ny dla Księ­ży­ca jest ujem­ny ponie­waż natę­że­nia pola gra­wi­ta­cyj­ne­go ma prze­ciw­ny zwrot w sto­sun­ku do osi x.

 

 

Spró­buj­my poli­czyć, czy wystę­pu­ją miej­sca w któ­rych natę­że­nia pola gra­wi­ta­cyj­ne­go ma war­tość zero. Uży­je­my do tego funk­cji solve. Przyj­mu­je ona 2 lub 4 para­me­try. Pierw­szy to nasza funk­cja, dru­gi to zmien­na dla któ­rej będzie­my poszu­ki­wać miejsc zero­wych. Opcjo­nal­nie moż­na podać dwa dodat­ko­we para­me­try, a jest to prze­dział w któ­rym będzie­my poszu­ki­wać miejsc zerowych.

Funk­cja ta ma jed­nak istot­ne ogra­ni­cze­nie. Dzia­ła mak­sy­mal­nie w zakre­sie od ‑1000 do + 1000 dla wska­za­nej zmien­nej (stan­dar­do­we usta­wie­nia to ‑20 +20 moż­na to zmie­nić w Narzę­dzia → Usta­wie­nia, zakład­ka „Obli­cze­nia”, pole „Pier­wiast­ki zakres”).

Aby obejść ten pro­blem trze­ba prze­ska­lo­wać funk­cję do wska­za­ne­go zakre­su. Dla­te­go zamiast γw(x) poja­wia się γw(x*106). Uzy­ska­ny wynik trze­ba ponow­nie pomno­żyć przez 10⁶.

 

 

Wyli­czo­na war­tość nie pokry­wa się z punk­tem Lagrange’a L1 ponie­waż zanie­dba­ne zosta­ły pozo­sta­łe siły.

Korzy­sta­jąc z uzy­ska­nych danych rysu­je­my wykres:

 

 

Tak jak poprzed­nio zachę­cam do dal­sze­go pozna­wa­nia zalet i ogra­ni­czeń pro­gra­mu SMath Studio.

 

Łukasz Maśla­niec