Grosz do grosza

 

Roz­po­czę­cie nowe­go roku kalen­da­rzo­we­go to dla wie­lu osób czas podej­mo­wa­nia nowo­rocz­nych posta­no­wień. Nie­któ­rzy pla­nu­ją przejść na die­tę, inni chcą się pod­jąć regu­lar­nej aktyw­no­ści fizycz­nej. Są rów­nież tacy, któ­rzy posta­na­wia­ją przyj­rzeć się swo­je­mu budże­to­wi i zaczy­na­ją oszczę­dzać. Jeże­li nale­żysz do tej ostat­niej gru­py, poka­żę Ci co zro­bić, by nie­mal bez wysił­ku zakoń­czyć następ­ny rok ze spo­rą sumą w skarbonce.

Oszczę­dza­nie pieniędzy
Oszczę­dza­nie pie­nię­dzy jest naj­sku­tecz­niej­sze, jeśli oszczę­dza się sys­te­ma­tycz­nie i dłu­go­ter­mi­no­wo. Ist­nie­je duża szan­sa, że jeśli już w dzie­ciń­stwie wyro­bisz w sobie nawyk oszczę­dza­nia, w doro­słym życiu będziesz potra­fił odpo­wie­dzial­nie gospo­da­ro­wać dostęp­nym budże­tem. Nie­ste­ty, dzie­ci nie zara­bia­ją pie­nię­dzy. Więc jak oszczę­dzać, gdy nie ma się z czego?

Meto­da, któ­rą chcę Ci zapro­po­no­wać, nie wyma­ga, abyś dys­po­no­wał duży­mi suma­mi. Jeśli rodzi­ce raz na jakiś czas prze­ka­zu­ją Ci kie­szon­ko­we lub „drob­ne” na zaku­py w skle­pi­ku szkol­nym, to wystar­czy, byś w cią­gu roku odło­żył pokaź­ne zaso­by finan­so­we. Zasa­da jest pro­sta: odkła­daj każ­de­go dnia o 1 grosz wię­cej niż poprzed­nie­go. Zacznij pierw­sze­go stycz­nia od wrzu­ce­nia 1 gro­sza do skar­bon­ki. Następ­ne­go dnia wrzuć 2 gro­sze, kolej­ne­go dnia- 3 gro­sze, i tak dalej. Waż­ne, abyś nie odpu­ścił ani jed­ne­go dnia. Klu­czem do suk­ce­su jest systematyczność.

Myślę, że są to kwo­ty, któ­re będziesz w sta­nie odło­żyć. Oczy­wi­ście, z każ­dym kolej­nym dniem, trze­ba będzie wrzu­cić do skar­bon­ki tro­chę wię­cej. Zasta­nów­my się, ile trze­ba będzie odło­żyć ostat­nie­go dnia (zakła­da­my, że oszczę­dza­nie będzie trwa­ło cały rok, czy­li 365 dni).

 

Ostat­nie­go dnia trze­ba będzie odło­żyć 365 gro­szy, czy­li 3,65 zł. To już rze­czy­wi­ście nie taka mała kwo­ta, gdyż jest to rów­no­war­tość tablicz­ki cze­ko­la­dy lub pacz­ki czip­sów. Jed­nak, żeby zaosz­czę­dzić więk­szą sumę, cza­sem trze­ba sobie cze­goś odmówić.

Pod­su­mo­wu­jąc, pierw­sze­go dnia nale­ży wrzu­cić do skar­bon­ki 1 grosz. Każ­de­go następ­ne­go dnia trze­ba odło­żyć o 1 grosz wię­cej niż poprzed­nie­go. Czyn­ność tę trze­ba powta­rzać przez cały rok. Naj­wyż­sza kwo­ta wrzu­co­na jed­no­ra­zo­wo do skar­bon­ki będzie wyno­si­ła 3,65 zł.

Zasa­da oszczę­dza­nia jest już jasna, czas więc zadać naj­waż­niej­sze pyta­nie: Ile pie­nię­dzy będzie po roku w skar­bon­ce? Aby obli­czyć, ile uda się zaosz­czę­dzić, moż­na po pro­stu wziąć kal­ku­la­tor do ręki i wyko­nać doda­wa­nie: 1+2+3+4+5+6+…+365. Nie­ste­ty jest to meto­da bar­dzo żmud­na, a na doda­tek ist­nie­je spo­re praw­do­po­do­bień­stwo, że w któ­rymś momen­cie się pomy­li­my. Dla­te­go pro­po­nu­ję sko­rzy­stać z nie­co bar­dziej zaawan­so­wa­nych narzę­dzi, jakie daje nam kró­lo­wa nauk.

Tro­chę matematyki
Wypi­sa­ne kolej­no licz­by nazy­wa­my w mate­ma­ty­ce cią­giem licz­bo­wym (oczy­wi­ście nie jest to ści­sła defi­ni­cja). Jeśli wypi­sze­my po kolei kwo­ty, jakie codzien­nie nale­ży odkła­dać do skar­bon­ki, to uzy­ska­my ciąg liczbowy:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … , 365

Każ­dą licz­bę nale­żą­cą do cią­gu okre­śla się mia­nem wyra­zu cią­gu. Wyra­zy cią­gu nume­ru­je się zgod­nie z tym, w jakiej kolej­no­ści wystę­pu­ją. Pierw­szym wyra­zem nasze­go cią­gu jest 1, dru­gim wyra­zem tego cią­gu jest 2, trze­cim- 3, a trzy­sta sześć­dzie­sią­tym pią­tym wyra­zem tego cią­gu jest 365. Sto­su­jąc nota­cję mate­ma­tycz­ką, może­my zapi­sać to w nastę­pu­ją­cy sposób:

 

 

Zauważ­my, że zna­jąc pierw­szy wyraz tego cią­gu, potra­fi­my prze­wi­dzieć wszyst­kie następ­ne wyra­zy, ponie­waż każ­dy kolej­ny wyraz cią­gu powsta­je według pew­nej regu­ły. Zasta­nów­my się jaka to reguła.

 

 

Widzi­my, że kolej­ne wyra­zy cią­gu powsta­ją poprzez doda­nie licz­by 1 do poprzed­nie­go wyrazu.
W mate­ma­ty­ce ist­nie­je wie­le cią­gów licz­bo­wych, któ­rych wyra­zy two­rzy się na pod­sta­wie prze­róż­nych, cza­sem bar­dzo skom­pli­ko­wa­nych reguł. Cią­gi, w któ­rych zasa­da two­rze­nia kolej­nych wyra­zów pole­ga na doda­wa­niu okre­ślo­nej licz­by do poprzed­nie­go wyra­zu, sta­no­wią szcze­gól­ną gru­pę cią­gów licz­bo­wych nazy­wa­nych cią­ga­mi aryt­me­tycz­ny­mi. Aby okre­ślić (zde­fi­nio­wać) ciąg aryt­me­tycz­ny nale­ży podać jego pierw­szy wyraz oraz róż­ni­cę pomię­dzy kolej­ny­mi wyra­za­mi. W przy­pad­ku oma­wia­ne­go przez nas cią­gu, pierw­szy wyraz to 1, a róż­ni­ca (ozna­cza­na lite­rą „r”) to rów­nież 1. Zapisz­my to matematycznie:

a₁ = 1
r = 1

Gdy zna­my pierw­szy wyraz cią­gu aryt­me­tycz­ne­go oraz jego róż­ni­cę, to jeste­śmy w sta­nie łatwo obli­czyć dowol­ny wyraz tego cią­gu za pomo­cą nastę­pu­ją­ce­go wzoru:

a_n = a₁ + (n‑1)r

Lite­ra n w tym wzo­rze ozna­cza, któ­ry wyraz cią­gu nas inte­re­su­je. Sprawdź­my, czy ten wzór rze­czy­wi­ście jest popraw­ny. Już wcze­śniej usta­li­li­śmy, że trzy­sta sześć­dzie­sią­ty pią­ty wyraz tego cią­gu to 365. Zobacz­my, czy sto­su­jąc poda­ny wzór, otrzy­ma­my taki sam wynik.

 

 

Zgod­nie z prze­wi­dy­wa­nia­mi, wynik to 365. Zatem wyglą­da na to, że wska­za­ny wzór jest popraw­ny. Moż­na się jed­nak zasta­na­wiać, w jaki spo­sób ten wzór miał­by pomóc przy obli­cze­niu, ile pie­nię­dzy zosta­nie odło­żo­ne do skar­bon­ki. Żeby odpo­wie­dzieć na to pyta­nie, musi­my poznać jesz­cze jeden (już ostat­ni) wzór. Otóż ciąg aryt­me­tycz­ny ma tę wła­sność, że moż­na bar­dzo łatwo obli­czyć sumę jego wyra­zów, sto­su­jąc poniż­szą formułę:

 

 

Może­my teraz przejść do naj­waż­niej­szej kwe­stii: obli­cze­nia zaosz­czę­dzo­nej kwoty.

W naszym przy­pad­ku pod­sta­wi­my do wzo­ru nastę­pu­ją­ce wartości:

 

 

Wyko­naj­my odpo­wied­nie obliczenia.

 

 

Sto­su­jąc zapro­po­no­wa­ną prze­ze mnie meto­dę oszczę­dza­nia moż­na odło­żyć w cią­gu roku aż 66 795 gro­szy, czy­li 667,95 zło­tych. Spo­dzie­wa­łeś się tak dużej kwo­ty odkła­da­nej „po grosiku”?

Oszczę­dzaj po swojemu!
Oczy­wi­ście, możesz dowol­nie zmo­dy­fi­ko­wać zapre­zen­to­wa­ny prze­ze mnie model oszczę­dza­nia, by dosto­so­wać go do swo­ich potrzeb i moż­li­wo­ści. Spo­so­bów mody­fi­ka­cji jest wie­le: moż­na zmie­nić okres odkła­da­nia kapi­ta­łu (n), kwo­tę począt­ko­wą (a1) lub kwo­tę, o któ­rą będziesz zwięk­szał kolej­ne wpła­ty ®. Korzy­sta­jąc ze wzo­rów, któ­re przed­sta­wi­łam możesz łatwo usta­lić, ile uda Ci się odło­żyć przy Two­im warian­cie gro­ma­dze­nia oszczędności.

Nagro­dą za wytrwa­łość i sys­te­ma­tycz­ność będzie satys­fak­cja z uzbie­ra­nia spo­rej sumy w skar­bon­ce. Co praw­da, pie­nią­dze szczę­ścia nie dają, ale fakt zre­ali­zo­wa­nia celu może być źró­dłem zado­wo­le­nia, a ewen­tu­al­ne zaku­py mogą wywo­łać przyjemność.
Dużo wytrwa­ło­ści i wszyst­kie­go naj­lep­sze­go w Nowym Roku!

 

Alek­san­dra Kowalska